Les 4 ensembles
| Ensemble | Définition | Exemples |
|---|---|---|
| ℕ — entiers naturels | entiers positifs ou nuls | 0 ; 7 ; 12 ; 100 |
| ℤ — entiers relatifs | entiers positifs, négatifs ou nuls | −3 ; 0 ; 5 ; −100 |
| ℚ — rationnels | quotients a/b d'entiers (b ≠ 0) | 1/2 ; 0,75 ; −4 ; 1/3 |
| ℝ — réels | tous les nombres de la droite graduée | π ; √2 ; −3 ; 1/2 ; 0 |
Les décimaux (nombres qui s'écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule : 0,75 ; −2,4) forment un ensemble intermédiaire, noté 𝔻, entre ℤ et ℚ. 1/3 = 0,333… est rationnel mais pas décimal.
L'ordre d'inclusion
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ : chaque ensemble contient le précédent.
- Un entier naturel (7) est aussi relatif, décimal, rationnel et réel.
- Un entier négatif (−3) est dans ℤ, pas dans ℕ.
- 0,5 est dans 𝔻 (et donc ℚ), pas dans ℤ.
- π et √2 sont dans ℝ mais pas dans ℚ : ce sont des irrationnels. En revanche √4 = 2 est un entier.
Méthode pour situer un nombre
- Simplifiez-le d'abord (√4 = 2 ; 6/3 = 2 ; 3/4 = 0,75).
- Entier positif ou nul → ℕ. Entier négatif → ℤ.
- Nombre fini de décimales → 𝔻. Quotient d'entiers → ℚ.
- Sinon (π, √2, √5…) → ℝ uniquement.
À retenir
- ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
- Un nombre appartient à plusieurs ensembles à la fois : on cite en général le plus petit.
- Opposé de a : −a. Valeur absolue (distance à zéro) : |−3,5| = 3,5.