Le théorème de Pythagore
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : BC² = AB² + AC².
- Côtés de l'angle droit 3 et 4 → hypoténuse = √(9 + 16) = √25 = 5.
- Côtés 5 et 12 → hypoténuse = √(25 + 144) = √169 = 13.
- Hypoténuse 13, un côté 5 → autre côté = √(169 − 25) = √144 = 12.
Réciproque : si BC² = AB² + AC² (BC étant le plus grand côté), alors le triangle est rectangle en A. Ex. : 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² → le triangle 6-8-10 est rectangle. Si l'égalité est fausse, le triangle n'est pas rectangle.
Le théorème de Thalès
Soit deux droites sécantes en A, coupées par deux droites parallèles (BC) et (B'C'), avec B et B' sur une droite, C et C' sur l'autre. Alors :
AB/AB' = AC/AC' = BC/B'C'
- Si AB = 4, AB' = 2 et AC = 6, alors 4/2 = 6/AC', donc AC' = 6 × 2 ÷ 4 = 3.
- Si le rapport de réduction est 3/5 et que AB = 9 cm, la longueur correspondante agrandie vaut 9 × 5/3 = 15 cm.
Réciproque : si les points sont alignés dans le même ordre et que AB/AB' = AC/AC', alors les droites (BC) et (B'C') sont parallèles.
Quel théorème utiliser ?
- Triangle rectangle + longueur à calculer → Pythagore.
- Prouver qu'un triangle est (ou n'est pas) rectangle → réciproque (ou contraposée) de Pythagore.
- Droites parallèles, agrandissement-réduction → Thalès.
À retenir
- Pythagore : hypoténuse² = somme des carrés des côtés de l'angle droit (triangle rectangle uniquement).
- Thalès : rapports de longueurs égaux en présence de parallèles.
- L'hypoténuse est le plus grand côté, en face de l'angle droit.